Joachim Brück arbeitet als niedergelassener Facharzt für Allgemeinmedizin in Trier und hat verwandtschaftliche Bindungen zu Cläre Prem, deren Vater der Bruder seines Urgroßvaters war. Außerberuflich kümmert er sich insbesondere um die Belange des Denkmalschutzes in seiner Geburts- und Heimatstadt Trier, weshalb er zudem regelmäßig den Jahresbericht „Verloren – Gefährdet – Gerettet, Leben in einer alten Stadt“ im alljährlich vom Verein Trierisch herausgegebenen Neuen Trierischen Jahrbuch verfasst. Er ist Vorstandsmitglied des Vereins Trierisch e. V. und der Trier-Gesellschaft e. V.